L'essentiel en une page
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | \(e^{a+b} = e^ae^b\) |
| Dérivée | \((e^u)' = u'e^u\) |
| Primitive | \(u'e^u \to e^u\) |
| Réciproque | \(e^x = y \iff x = \ln y\) |
| Base \(a\) | \(a^x = e^{x\ln a}\), dérivée \(a^x\ln a\) |
Limites : \(0\) en \(-\infty\), \(+\infty\) en \(+\infty\) ; l'exponentielle l'emporte sur toute puissance.
| Croissances comparées | Limite |
|---|---|
| \(\frac{e^x}{x^n}\) en \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(x^ne^x\) en \(-\infty\) | \(0\) |
| \(\frac{e^x-1}{x}\) en \(0\) | \(1\) |
Inégalités : \(e^x \ge x+1\) pour tout \(x\), et \(e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}\) pour \(x>0\).
Suite type : \(\left(1+\frac an\right)^n \to e^{a}\), en passant par le logarithme.
Ce que je dois savoir faire
- Résoudre une équation en posant \(X = e^x > 0\).
- Résoudre \(a^x = b\) par passage au logarithme.
- Étudier une fonction du type \(P(x)e^{\pm x}\).
- Calculer des intégrales avec \(u'e^u\).
- Déterminer la limite d'une suite du type \(\left(1+\frac an\right)^n\).
Les pièges à éviter
- \(e^x > 0\) : une racine \(X \le 0\) se rejette.
- \(a^x\) se dérive en \(a^x\ln a\), pas en \(a^x\).
- Factoriser par le terme dominant pour les formes \(\infty - \infty\).
- Pour \(\left(1+\frac an\right)^n\), passer au logarithme avant de conclure.
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Dérivée de \(e^{-x^2}\) ? Résoudre \(e^x = 7\) ? \(\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}\) ? \(2^x = 8\) ?
Réponses
\(-2xe^{-x^2}\) ; \(x = \ln 7\) ; \(+\infty\) ; \(x = 3\).