Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
- \(e^{2x} - 4e^x + 3 = 0\) (3 pts)
- \(5^x = 2\) (2 pts)
Correction
- \(X = e^x\) : \(X = 1\) ou \(X = 3\), donc \(x = 0\) ou \(x = \ln 3\).
- \(x = \dfrac{\ln 2}{\ln 5}\).
Exercice 2 (5 pts)
Calculer :
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^3}\) (2{,}5 pts)
- \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2e^{x}\) (2{,}5 pts)
Correction
- \(+\infty\) (croissances comparées).
- \(0\).
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(f(x) = (x+1)e^{-x}\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe. (3 pts)
- Dresser le tableau de variations avec les limites. (3 pts)
Correction
- \(f'(x) = e^{-x} - (x+1)e^{-x} = -xe^{-x}\), du signe de \(-x\).
- Maximum \(f(0) = 1\) ; limites : \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(0\) en \(+\infty\).
Exercice 4 (4 pts)
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx\) et \(\displaystyle\int_0^1 xe^{x^2}\,dx\).
Correction
\(\left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^1 = \dfrac{e^2-1}{2}\) ; \(\left[\dfrac{e^{x^2}}{2}\right]_0^1 = \dfrac{e-1}{2}\).