Exercice 1
Résoudre : \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\), puis \(e^{x^2} < e^{3x - 2}\).
Correction
- \(X = e^x\) : \(X = 1\) ou \(X = 2\), soit \(x = 0\) ou \(x = \ln2\).
- \(x^2 < 3x - 2\Leftrightarrow(x - 1)(x - 2) < 0\) : \(S = ]1 ; 2[\).
Exercice 2
Calculer : \(\lim_{x\to+\infty}(e^x - x)\), \(\lim_{x\to-\infty}(x^2e^x)\), \(\lim_{x\to0}\frac{e^{2x} - 1}{x}\).
Correction
\(e^x(1 - \frac{x}{e^x})\to+\infty\). Avec \(t = -x\) : \(\frac{t^2}{e^t}\to0\). \(2\cdot\frac{e^{2x} - 1}{2x}\to2\).
Exercice 3
Dériver \(f(x) = (x^2 - 1)e^{-x}\) et étudier ses variations.
Correction
\(f'(x) = (2x - x^2 + 1)e^{-x} = -(x^2 - 2x - 1)e^{-x}\). Racines \(1\pm\sqrt2\) : décroissante sur \(]-\infty ; 1 - \sqrt2]\) et \([1 + \sqrt2 ; +\infty[\), croissante entre.
Exercice 4
Montrer que pour tout \(x\) : \(e^x\ge1 + x\).
Correction
\(\varphi(x) = e^x - 1 - x\), \(\varphi'(x) = e^x - 1\) : minimum en \(0\), \(\varphi(0) = 0\).
Exercice 5
Résoudre \(2^x = 3^{x - 1}\).
Correction
\(x\ln2 = (x - 1)\ln3\Leftrightarrow x(\ln3 - \ln2) = \ln3\) : \(x = \frac{\ln3}{\ln\frac32}\).