Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Problème (20 pts)
Soit \(f(x) = (x - 1)e^x + 1\).
Partie A
- Calculer \(\lim_{-\infty}f\) et \(\lim_{+\infty}f\). (3 pts)
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation de \(f\). (4 pts)
- En déduire que pour tout \(x\), \(f(x)\ge0\). (2 pts)
Partie B
Soit \(g(x) = \frac{e^x - 1}{x}\) pour \(x\neq0\) et \(g(0) = 1\).
- Montrer que \(g\) est continue en \(0\). (2 pts)
- Montrer que pour \(x\neq0\), \(g'(x) = \frac{f(x)}{x^2}\), et en déduire les variations de \(g\). (4 pts)
- Calculer \(\lim_{-\infty}g\) et \(\lim_{+\infty}g\) et interpréter. (5 pts)
Correction
A1. En \(-\infty\) : \(xe^x\to0\) et \(e^x\to0\), donc \(f\to1\). En \(+\infty\) : \(f\to+\infty\). A2. \(f'(x) = e^x + (x - 1)e^x = xe^x\) : décroissante sur \(]-\infty ; 0]\), croissante sur \([0 ; +\infty[\), minimum \(f(0) = 0\). A3. Le minimum vaut \(0\). B1. \(\lim_{x\to0}\frac{e^x - 1}{x} = 1 = g(0)\). B2. \(g'(x) = \frac{xe^x - (e^x - 1)}{x^2} = \frac{f(x)}{x^2}\ge0\) : \(g\) croissante sur \(\mathbb{R}\). B3. \(\lim_{-\infty}g = \lim\frac{-1}{x} = 0\) : asymptote \(y = 0\). \(\lim_{+\infty}g = +\infty\) et \(\frac{g(x)}{x}\to+\infty\) : branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.