Série 2 — équations, études et fonctions \(a^x\).
Exercice 1
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{2x} - e^x - 6 = 0\).
Correction
\(X = e^x > 0\) : \(X^2 - X - 6 = 0\) donne \(X = 3\) ou \(X = -2\) (rejeté). Donc \(x = \ln 3\).
Exercice 2
Résoudre \(2^x = 5\), puis \(3^{x+1} = 7\).
Correction
\(x\ln 2 = \ln 5\) donne \(x = \dfrac{\ln 5}{\ln 2}\). \((x+1)\ln 3 = \ln 7\) donne \(x = \dfrac{\ln 7}{\ln 3} - 1\).
Exercice 3
Soit \(f(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}\).
- Déterminer \(D_f\), les limites en \(\pm\infty\).
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\) ; en \(-\infty\) : \(0\) ; en \(+\infty\) : \(1\) (diviser par \(e^x\)).
- \(f'(x) = \dfrac{e^x}{(e^x+1)^2} > 0\) : la fonction est strictement croissante.
Exercice 4
Soit \(g(x) = x^2e^{-x}\).
- Calculer \(g'(x)\) et étudier son signe.
- Déterminer les extremums et les limites.
Correction
- \(g'(x) = e^{-x}\left(2x - x^2\right) = xe^{-x}(2-x)\) : négative hors de \([0\,;2]\), positive entre.
- Minimum \(g(0) = 0\), maximum local \(g(2) = 4e^{-2}\) ; limites : \(+\infty\) en \(-\infty\) et \(0\) en \(+\infty\).
Exercice 5
Montrer que, pour tout \(x > 0\), \(e^x > 1 + x + \dfrac{x^2}{2}\).
Correction
Soit \(h(x) = e^x - 1 - x - \dfrac{x^2}{2}\) : \(h'(x) = e^x - 1 - x \ge 0\) (inégalité connue), avec égalité seulement en \(0\). Donc \(h\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\) et \(h(0) = 0\) : \(h(x) > 0\) pour \(x > 0\).
Exercice 6
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 \frac{e^x}{e^x+1}\,dx\) et \(\displaystyle\int_0^1 xe^{-x^2}\,dx\).
Correction
\(\left[\ln(e^x+1)\right]_0^1 = \ln(e+1) - \ln 2\) ; \(\left[-\dfrac{e^{-x^2}}{2}\right]_0^1 = \dfrac{1 - e^{-1}}{2}\).
Exercice 7
Déterminer la limite de \(u_n = \left(1 + \dfrac2n\right)^n\).
Correction
\(\ln u_n = n\ln\left(1+\dfrac2n\right) = 2\times\dfrac{\ln\left(1+\frac2n\right)}{\frac2n} \to 2\). Donc \(u_n \to e^2\).