L'essentiel en une page
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\) |
| Quotient | \(\ln\frac ab = \ln a - \ln b\) |
| Puissance | \(\ln(a^n) = n\ln a\) |
| Dérivée | \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\) |
| Primitive de \(\ln\) | \(x\ln x - x\) |
| Primitive de \(\frac{u'}{u}\) | \(\ln\lvert u\rvert\) |
Limites : \(-\infty\) en \(0^+\), \(+\infty\) en \(+\infty\).
| Croissances comparées | Limite |
|---|---|
| \(\frac{\ln x}{x^n}\) en \(+\infty\) | \(0\) |
| \(x^n\ln x\) en \(0^+\) | \(0\) |
| \(\frac{\ln(1+x)}{x}\) en \(0\) | \(1\) |
| \(\frac{\ln x}{x-1}\) en \(1\) | \(1\) |
Maximum de \(\frac{\ln x}{x}\) : atteint en \(x = e\), valeur \(\frac1e\) — d'où des comparaisons du type \(\pi^e < e^{\pi}\).
Ce que je dois savoir faire
- Résoudre équations, systèmes et inéquations logarithmiques.
- Lever les indéterminations par croissances comparées.
- Étudier une fonction contenant \(\ln\).
- Calculer des intégrales avec \(\ln\), y compris par parties.
- Utiliser \(\frac{\ln(1+x)}{x}\to1\) pour une suite.
Les pièges à éviter
- Toujours poser la condition d'existence et vérifier les solutions.
- \(\ln(a+b) \ne \ln a + \ln b\).
- \(\ln x - x\) tend vers \(-\infty\) : factoriser par \(x\).
- La primitive de \(\frac1x\) sur un intervalle négatif est \(\ln\lvert x\rvert\).
Testez-vous en 3 minutes
Dérivée de \(\ln(x^2+1)\) ? Primitive de \(\ln x\) ? \(\lim_{x\to0^+}x\ln x\) ? Maximum de \(\frac{\ln x}{x}\) ?
Réponses
\(\frac{2x}{x^2+1}\) ; \(x\ln x - x\) ; \(0\) ; \(\frac1e\) en \(x = e\).