Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Problème (20 pts)
Partie A
Soit \(g(x) = x^2 - 1 + \ln x\) sur \(]0 ; +\infty[\).
- Étudier les variations de \(g\). (2 pts)
- Calculer \(g(1)\) et en déduire le signe de \(g(x)\). (2 pts)
Partie B
Soit \(f(x) = x - \frac{\ln x}{x}\) sur \(]0 ; +\infty[\).
- Calculer \(\lim_{0^+}f\) et \(\lim_{+\infty}f\). (3 pts)
- Montrer que \(f'(x) = \frac{g(x)}{x^2}\) et dresser le tableau de variation. (4 pts)
- Montrer que \((C_f)\) admet l'asymptote oblique \((D) : y = x\) et étudier leur position. (4 pts)
- Déterminer le point de \((C_f)\) où la tangente est parallèle à \((D)\). (3 pts)
- En déduire que pour tout \(x > 0\), \(f(x)\ge1\). (2 pts)
Correction
A1. \(g'(x) = 2x + \frac1x > 0\) : croissante. A2. \(g(1) = 0\) : \(g < 0\) sur \(]0 ; 1[\) et \(g > 0\) sur \(]1 ; +\infty[\). B1. \(\frac{\ln x}{x}\to-\infty\) en \(0^+\) donc \(f\to+\infty\). En \(+\infty\), \(f\to+\infty\). B2. \(f'(x) = 1 - \frac{1 - \ln x}{x^2} = \frac{x^2 - 1 + \ln x}{x^2}\). Décroissante sur \(]0 ; 1]\), croissante sur \([1 ; +\infty[\), minimum \(f(1) = 1\). B3. \(f(x) - x = -\frac{\ln x}{x}\to0\). Courbe au-dessus de \((D)\) sur \(]0 ; 1[\), en dessous sur \(]1 ; +\infty[\), intersection en \((1 ; 1)\). B4. \(f'(x) = 1\Leftrightarrow\ln x = 1\Leftrightarrow x = e\) : point \((e ; e - \frac1e)\). B5. Le minimum de \(f\) est \(f(1) = 1\).