1. Limite d'une suite
\((u_n)\) converge vers \(\ell\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes à partir d'un certain rang. Sinon elle diverge.
- \(\lim n^p = +\infty\) (\(p > 0\)), \(\lim\frac{1}{n^p} = 0\).
- Suite géométrique : si \(-1 < q < 1\), \(q^n\to0\) ; si \(q > 1\), \(q^n\to+\infty\) ; si \(q\le-1\), pas de limite.
2. Théorèmes de convergence
- Toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
- Gendarmes : \(v_n\le u_n\le w_n\) et \(v_n, w_n\to\ell\) entraînent \(u_n\to\ell\).
- Si \(u_n\ge v_n\) et \(v_n\to+\infty\), alors \(u_n\to+\infty\).
- Si \(|u_n - \ell|\le v_n\) et \(v_n\to0\), alors \(u_n\to\ell\).
3. Suites \(u_{n+1} = f(u_n)\)
Si \(f\) est continue sur \(I\), \(f(I)\subset I\), \(u_0\in I\) et \((u_n)\) converge vers \(\ell\in I\), alors \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\).
4. Suites adjacentes
\((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante et \(\lim(v_n - u_n) = 0\). Elles convergent alors vers la même limite.
5. Suite \(u_n = f(n)\) et composition
Si \(\lim u_n = a\) et \(f\) est continue en \(a\), alors \(\lim f(u_n) = f(a)\).
Exemple
\(u_0 = 1\), \(u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}\). On montre par récurrence \(0 < u_n < 2\) et \((u_n)\) croissante : elle converge vers \(\ell\) avec \(\ell = \sqrt{2 + \ell}\), soit \(\ell^2 - \ell - 2 = 0\), \(\ell = 2\).