1. Rappels
Nombre dérivé, tangente \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\), dérivées usuelles et opérations.
2. Dérivée de la composée et de la réciproque
\[(v\circ u)'(x) = u'(x)\,v'(u(x))\]
Si \(f\) est continue strictement monotone sur \(I\), dérivable en \(a\) avec \(f'(a)\neq0\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(b = f(a)\) et \((f^{-1})'(b) = \frac{1}{f'(a)}\).
Dérivées
\[(\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \ (x > 0) \qquad (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} \qquad (\arctan u)' = \frac{u'}{1 + u^2} \qquad (u^r)' = ru'u^{r-1}\]
3. Théorème de Rolle et des accroissements finis
Rolle : si \(f\) est continue sur \([a ; b]\), dérivable sur \(]a ; b[\) et \(f(a) = f(b)\), il existe \(c\in]a ; b[\) tel que \(f'(c) = 0\).
TAF : si \(f\) est continue sur \([a ; b]\) et dérivable sur \(]a ; b[\), il existe \(c\in]a ; b[\) tel que \(f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)\).
Inégalité des accroissements finis : si \(m\le f'\le M\) sur \(]a ; b[\), alors \(m(b - a)\le f(b) - f(a)\le M(b - a)\).
4. Étude d'une fonction
- Branches infinies : asymptotes verticales, horizontales, obliques ; branches paraboliques.
- Concavité : signe de \(f''\) ; point d'inflexion là où \(f''\) s'annule en changeant de signe.
- Symétries : axe \(x = a\) (\(f(2a - x) = f(x)\)), centre \(\Omega(a ; b)\) (\(f(2a - x) + f(x) = 2b\)).
Exemple d'utilisation du TAF
Pour \(0 < a < b\) : \(\frac{b - a}{1 + b^2} < \arctan b - \arctan a < \frac{b - a}{1 + a^2}\), car \(\arctan'(c) = \frac{1}{1 + c^2}\) avec \(a < c < b\).