1. Continuité
\(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x\to a}f(x) = f(a)\), et continue sur un intervalle \(I\) si elle l'est en tout point de \(I\).
- Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continues.
- Si \(\lim_{x\to a}u(x) = \ell\) et \(v\) est continue en \(\ell\), alors \(\lim_{x\to a}v(u(x)) = v(\ell)\).
Prolongement par continuité
Si \(f\) n'est pas définie en \(a\) mais \(\lim_{x\to a}f(x) = \ell\in\mathbb{R}\), la fonction égale à \(f\) et valant \(\ell\) en \(a\) est le prolongement par continuité de \(f\) en \(a\).
2. Image d'un intervalle
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. L'image d'un segment \([a ; b]\) est un segment \([m ; M]\).
| \(f\) continue et strictement croissante sur | \(f(I)\) |
|---|---|
| \([a ; b]\) | \([f(a) ; f(b)]\) |
| \([a ; b[\) | \([f(a) ; \lim_{b^-}f[\) |
| \(]a ; +\infty[\) | \(]\lim_{a^+}f ; \lim_{+\infty}f[\) |
3. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Si \(f\) est continue sur \([a ; b]\), alors pour tout \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet au moins une solution dans \([a ; b]\).
Corollaire : si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a ; b]\) et \(f(a)f(b) < 0\), l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution dans \(]a ; b[\).
Dichotomie
On encadre la solution \(\alpha\) en coupant l'intervalle en deux à chaque étape.
4. Fonction réciproque
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \(I\), elle réalise une bijection de \(I\) sur \(J = f(I)\). Sa réciproque \(f^{-1}\) est continue sur \(J\), de même monotonie que \(f\), et \((C_{f^{-1}})\) est le symétrique de \((C_f)\) par rapport à la droite \(y = x\).
5. Fonction racine \(n\)-ième
Pour \(n\in\mathbb{N}^*\), \(x\mapsto x^n\) est une bijection de \([0 ; +\infty[\) sur lui-même ; sa réciproque est \(x\mapsto\sqrt[n]{x}\).
Puissance rationnelle : \(x^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{x^p}\) pour \(x > 0\).
6. Fonction arctangente
\(\tan\) est une bijection de \(]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[\) sur \(\mathbb{R}\). Sa réciproque est \(\arctan\) : \(\arctan x = y\Leftrightarrow\tan y = x\) et \(y\in]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[\).
- \(\arctan\) est impaire, strictement croissante, \(\lim_{+\infty}\arctan = \frac{\pi}{2}\).
- Pour \(x > 0\) : \(\arctan x + \arctan\frac1x = \frac{\pi}{2}\).