Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Soit \(f(x) = x - 2\sqrt{x - 1}\) sur \(I = [1 ; +\infty[\).
- Montrer que \(f(x) = (\sqrt{x - 1} - 1)^2\). (2 pts)
- Montrer que \(f\) est continue sur \(I\) et calculer \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\). (2 pts)
- Montrer que la restriction \(g\) de \(f\) à \([2 ; +\infty[\) admet une réciproque \(g^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à préciser. (3 pts)
- Déterminer \(g^{-1}(x)\). (3 pts)
Correction
- \((\sqrt{x - 1} - 1)^2 = x - 1 - 2\sqrt{x - 1} + 1\).
- Composée de fonctions continues. \(f(x)\to+\infty\).
- Sur \([2 ; +\infty[\), \(t = \sqrt{x - 1}\ge1\) croît et \(t\mapsto(t - 1)^2\) croît sur \([1 ; +\infty[\) : \(g\) continue strictement croissante, \(J = [0 ; +\infty[\).
- \(\sqrt{x - 1} - 1 = \sqrt{y}\) donc \(x = (1 + \sqrt y)^2 + 1\) : \(g^{-1}(x) = (1 + \sqrt x)^2 + 1\).
Exercice 2 (10 pts)
Soit \(h(x) = \arctan x - \frac{x}{2}\).
- Calculer \(h'(x)\) et dresser le tableau de variation de \(h\) sur \([0 ; +\infty[\). (4 pts)
- Montrer que l'équation \(h(x) = 0\) admet une unique solution \(\beta\) dans \(]1 ; 3[\). (3 pts)
- Calculer \(\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}\). (3 pts)
Correction
- \(h'(x) = \frac{1}{1 + x^2} - \frac12 = \frac{1 - x^2}{2(1 + x^2)}\) : croissante sur \([0 ; 1]\), décroissante sur \([1 ; +\infty[\), \(h(0) = 0\), \(\lim_{+\infty}h = -\infty\).
- \(h(1) = \frac{\pi}{4} - \frac12 > 0\) et \(h(3)\approx1{,}249 - 1{,}5 < 0\) ; \(h\) est continue strictement décroissante sur \([1 ; 3]\) : solution unique.
- C'est le nombre dérivé de \(\arctan\) en \(0\) : \(\frac{1}{1 + 0} = 1\).