Exercice 1
Soit \(f(x) = \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}\) pour \(x\neq0\). Montrer que \(f\) admet un prolongement par continuité en \(0\).
Correction
\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1}\to\frac12\). On pose \(f(0) = \frac12\).
Exercice 2
Montrer que l'équation \(x^3 + x - 1 = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0 ; 1[\), puis donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(0{,}25\).
Correction
\(g(x) = x^3 + x - 1\) est continue, strictement croissante (\(g' = 3x^2 + 1 > 0\)), \(g(0) = -1 < 0\), \(g(1) = 1 > 0\) : solution unique. \(g(0{,}5) = -0{,}375 < 0\), \(g(0{,}75) \approx 0{,}17 > 0\) : \(0{,}5 < \alpha < 0{,}75\).
Exercice 3
Soit \(f(x) = x^2 - 2x\) sur \(I = [1 ; +\infty[\). Montrer que \(f\) admet une réciproque définie sur un intervalle \(J\) à préciser, et déterminer \(f^{-1}(x)\).
Correction
\(f'(x) = 2(x - 1)\ge0\) : continue strictement croissante, \(J = [-1 ; +\infty[\). \(y = (x - 1)^2 - 1\) donne \(x = 1 + \sqrt{y + 1}\) : \(f^{-1}(x) = 1 + \sqrt{x + 1}\).
Exercice 4
Simplifier \(A = \frac{\sqrt[3]{16}\times\sqrt[6]{4}}{\sqrt[4]{8}}\) et résoudre \(\sqrt[3]{x - 1} = 2\).
Correction
\(A = \frac{2^{4/3}\times2^{1/3}}{2^{3/4}} = 2^{\frac43 + \frac13 - \frac34} = 2^{\frac{11}{12}}\). \(x - 1 = 8\) : \(x = 9\).
Exercice 5
Calculer \(\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt[3]{x^3 + x^2} - x\right)\).
Correction
Avec \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\) : \(\sqrt[3]{x^3 + x^2} - x = \frac{x^2}{a^2 + ax + x^2}\) où \(a = \sqrt[3]{x^3 + x^2}\sim x\). La limite vaut \(\frac13\).
Exercice 6
Vérifier que \(\tan(\arctan2 + \arctan3) = -1\), puis calculer \(\arctan1 + \arctan2 + \arctan3\).
Correction
\(\tan(a + b) = \frac{2 + 3}{1 - 6} = -1\) et \(a + b\in]\frac{\pi}{2} ; \pi[\) donc \(a + b = \frac{3\pi}{4}\). Le total vaut \(\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \pi\).