Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Problème (20 pts)
Soit \(f(x) = x - 1 + \frac{2}{\pi}\arctan x\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé.
- Calculer \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)\) et montrer que \((C_f)\) admet deux asymptotes obliques. (4 pts)
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation. (3 pts)
- Montrer que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) et que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) avec \(0 < \alpha < 1\). (4 pts)
- Étudier la concavité de \((C_f)\) et déterminer son point d'inflexion. (4 pts)
- Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(-1\) et calculer \((f^{-1})'(-1)\). (5 pts)
Correction
- \(\lim_{\pm\infty}f = \pm\infty\). \(f(x) - (x - 1 + 1) = \frac{2}{\pi}\arctan x - 1\to0\) en \(+\infty\) : asymptote \(y = x\). En \(-\infty\) : asymptote \(y = x - 2\).
- \(f'(x) = 1 + \frac{2}{\pi(1 + x^2)} > 0\) : strictement croissante.
- Continue, strictement croissante, limites \(\pm\infty\) : bijection. \(f(0) = -1 < 0\), \(f(1) = \frac12 > 0\) : \(\alpha\in]0 ; 1[\).
- \(f''(x) = -\frac{4x}{\pi(1 + x^2)^2}\) : convexe sur \(]-\infty ; 0]\), concave sur \([0 ; +\infty[\). Point d'inflexion \((0 ; -1)\).
- \(f(0) = -1\) et \(f'(0) = 1 + \frac{2}{\pi}\neq0\) : \((f^{-1})'(-1) = \frac{1}{1 + \frac2\pi} = \frac{\pi}{\pi + 2}\).