Exercice 1
Calculer les dérivées : \(f(x) = \arctan(2x + 1)\), \(g(x) = \sqrt[3]{x^2 + 1}\), \(h(x) = (x^2 + 1)^{\frac32}\).
Correction
\(f'(x) = \frac{2}{1 + (2x + 1)^2}\). \(g'(x) = \frac{2x}{3\sqrt[3]{(x^2 + 1)^2}}\). \(h'(x) = 3x\sqrt{x^2 + 1}\).
Exercice 2
Soit \(f(x) = x^3 + x\). Montrer que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\) et calculer \((f^{-1})'(2)\).
Correction
\(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\), \(f\) continue, limites \(\pm\infty\) : bijection. \(f(1) = 2\), donc \((f^{-1})'(2) = \frac{1}{f'(1)} = \frac14\).
Exercice 3
Montrer à l'aide du TAF que pour tout \(x > 0\) : \(\frac{x}{1 + x^2} < \arctan x < x\).
Correction
Sur \([0 ; x]\) : \(\arctan x = \frac{x}{1 + c^2}\) avec \(0 < c < x\). Or \(\frac{1}{1 + x^2} < \frac{1}{1 + c^2} < 1\).
Exercice 4
Soit \(f(x) = \frac{x^2 + x + 1}{x}\). Étudier les branches infinies et la concavité de \((C_f)\).
Correction
\(f(x) = x + 1 + \frac1x\) : asymptotes \(x = 0\) et \(y = x + 1\). \(f''(x) = \frac{2}{x^3}\) : concave sur \(]-\infty ; 0[\), convexe sur \(]0 ; +\infty[\).
Exercice 5
Étudier la branche infinie en \(+\infty\) de \(g(x) = x + \sqrt{x}\).
Correction
\(\frac{g(x)}{x}\to1\) et \(g(x) - x = \sqrt x\to+\infty\) : branche parabolique de direction la droite \(y = x\).