Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Exercice 1 (12 pts)
Soit \(f(x) = \frac{4x}{x + 1}\) et la suite \(u_0 = \frac12\), \(u_{n+1} = f(u_n)\).
- Étudier les variations de \(f\) sur \([0 ; +\infty[\). (2 pts)
- Montrer que \(\frac12\le u_n < 3\) pour tout \(n\). (3 pts)
- Montrer que \((u_n)\) est croissante et en déduire qu'elle converge. (3 pts)
- On pose \(v_n = \frac{u_n - 3}{u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\frac14\), puis calculer \(\lim u_n\). (4 pts)
Correction
- \(f'(x) = \frac{4}{(x + 1)^2} > 0\) : croissante.
- Récurrence : \(f\) croissante, \(f(\frac12) = \frac43\ge\frac12\) et \(f(x) < 3\Leftrightarrow x < 3\).
- \(u_{n+1} - u_n = \frac{u_n(3 - u_n)}{u_n + 1} > 0\) : croissante et majorée, donc convergente.
- \(v_{n+1} = \frac{\frac{4u_n}{u_n + 1} - 3}{\frac{4u_n}{u_n + 1}} = \frac{u_n - 3}{4u_n} = \frac14v_n\). \(v_n\to0\) donc \(1 - \frac{3}{u_n}\to0\) et \(u_n\to3\).
Exercice 2 (8 pts)
Soient \(u_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\) et \(v_n = u_n + \frac{1}{n\cdot n!}\) pour \(n\ge1\).
- Montrer que \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) décroissante. (4 pts)
- En déduire que \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers une même limite. (2 pts)
- Donner un encadrement de cette limite à \(10^{-2}\) près. (2 pts)
Correction
- \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+1)!} > 0\). \(v_{n+1} - v_n = \frac{1}{(n+1)!} + \frac{1}{(n+1)(n+1)!} - \frac{1}{n\cdot n!} = \frac{n(n + 2) - (n + 1)^2}{n(n+1)(n+1)!} = \frac{-1}{n(n+1)(n+1)!} < 0\).
- \(v_n - u_n = \frac{1}{n\cdot n!}\to0\) : suites adjacentes.
- Pour \(n = 4\) : \(u_4\approx2{,}7083\) et \(v_4\approx2{,}7188\) : la limite (le nombre \(e\)) est entre \(2{,}70\) et \(2{,}72\).