Série 2 — équations, études et intégrales avec \(\ln\).
Exercice 1
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\ln(x^2 - 1) = \ln(3x - 3)\).
Correction
Conditions : \(x^2 - 1 > 0\) et \(3x - 3 > 0\), donc \(x > 1\). \(x^2 - 1 = 3x - 3\) donne \(x^2 - 3x + 2 = 0\) : \(x = 1\) ou \(x = 2\). Seul \(x = 2\) convient.
Exercice 2
Résoudre le système \(\begin{cases} \ln x + \ln y = \ln 12 \\ x + y = 7 \end{cases}\) avec \(x>0\) et \(y>0\).
Correction
La première donne \(xy = 12\) ; avec \(x + y = 7\), \(x\) et \(y\) sont racines de \(t^2 - 7t + 12 = 0\). \(\Delta = 1\) : \(t = 3\) ou \(t = 4\). Les solutions sont \((3\,;4)\) et \((4\,;3)\).
Exercice 3
Soit \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
- Déterminer le maximum et les limites aux bornes.
Correction
- \(f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}\) : positive sur \(]0\,;e[\), négative après.
- Maximum \(f(e) = \dfrac1e\) ; limites : \(-\infty\) en \(0^+\) et \(0\) en \(+\infty\).
Exercice 4
Déduire de l'exercice précédent la comparaison de \(e^{\pi}\) et \(\pi^{e}\).
Correction
\(f\) atteint son maximum en \(e\), donc \(\dfrac{\ln\pi}{\pi} < \dfrac{\ln e}{e} = \dfrac1e\). Ainsi \(e\ln\pi < \pi\), soit \(\ln\left(\pi^e\right) < \ln\left(e^{\pi}\right)\) : donc \(\pi^e < e^{\pi}\).
Exercice 5
Calculer \(\displaystyle\int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx\) et \(\displaystyle\int_1^2 \frac{dx}{x}\).
Correction
\(\left[\dfrac{\ln^2x}{2}\right]_1^e = \dfrac12\) ; \(\left[\ln x\right]_1^2 = \ln 2\).
Exercice 6
Soit \(g(x) = x\ln x - x\) sur \(]0\,;+\infty[\). Calculer \(g'(x)\) et en déduire une primitive de \(\ln\).
Correction
\(g'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x\) : une primitive de \(\ln\) est donc \(x\ln x - x\).
Exercice 7
Étudier la limite de \(u_n = \dfrac{\ln n}{n}\) et celle de \(v_n = n\ln\left(1+\dfrac1n\right)\).
Correction
\(u_n \to 0\) (croissances comparées). \(v_n = \dfrac{\ln\left(1+\frac1n\right)}{\frac1n} \to 1\), d'après \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x} = 1\).