Série 2 — équations, dérivées, croissances comparées et applications financières.
Exercice 1
Résoudre \(\ln(2x-1) = 0\).
Correction
Domaine : \(x>\dfrac12\). L'équation donne \(2x-1 = 1\), donc \(x = 1\), qui convient.
Exercice 2
Résoudre \(\ln x+\ln(x+1) = \ln6\).
Correction
Domaine : \(x>0\). L'équation devient \(\ln\left(x^2+x\right) = \ln6\), soit \(x^2+x-6 = 0\). Les racines sont \(2\) et \(-3\) ; seule \(x = 2\) appartient au domaine.
Exercice 3
Résoudre l'inéquation \(\ln(x-2)\le0\).
Correction
Domaine : \(x>2\). \(\ln(x-2)\le0 = \ln1\) équivaut à \(x-2\le1\), soit \(x\le3\). L'ensemble des solutions est \(]2\,;3]\).
Exercice 4
Calculer la dérivée de \(f(x) = \ln\left(x^2+1\right)\) puis de \(g(x) = x\ln x\) sur \(]0;+\infty[\).
Correction
\(f'(x) = \dfrac{2x}{x^2+1}\). \(g'(x) = \ln x+x\times\dfrac1x = \ln x+1\).
Exercice 5
Étudier les variations de \(f(x) = x-\ln x\) sur \(]0;+\infty[\) et en déduire que \(\ln x\le x-1\) pour tout \(x>0\).
Correction
\(f'(x) = 1-\dfrac1x = \dfrac{x-1}{x}\) : \(f\) décroît sur \(]0;1]\) et croît sur \([1;+\infty[\). Le minimum est \(f(1) = 1>0\), donc \(x-\ln x\ge1\), c'est-à-dire \(\ln x\le x-1\) pour tout \(x>0\).
Exercice 6
Un capital placé à \(4\,\%\) par an. Au bout de combien d'années aura-t-il doublé ?
Correction
On résout \((1{,}04)^n\ge2\), soit \(n\ln1{,}04\ge\ln2\), donc \(n\ge\dfrac{\ln2}{\ln1{,}04}\approx17{,}7\). Il faut 18 années.
Exercice 7
Résoudre \(2^x = 10\), puis donner une valeur approchée de la solution.
Correction
\(x\ln2 = \ln10\), donc \(x = \dfrac{\ln10}{\ln2}\approx3{,}32\).