Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Résoudre les équations suivantes.
- \(\ln(3x) = \ln(x+4)\) (2 pts)
- \(\ln x = 2\) (3 pts)
Correction
- Domaine : \(x>0\). \(3x = x+4\) donne \(x = 2\).
- \(x = e^2\approx7{,}39\).
Exercice 2 (5 pts)
Calculer la dérivée de \(f(x) = \ln(2x+3)\) sur \(\left]-\frac32;+\infty\right[\) et de \(g(x) = \dfrac{\ln x}{x}\) sur \(]0;+\infty[\).
Correction
\(f'(x) = \dfrac{2}{2x+3}\). \(g'(x) = \dfrac{\frac1x\times x-\ln x}{x^2} = \dfrac{1-\ln x}{x^2}\).
Exercice 3 (5 pts)
Résoudre l'inéquation \(\ln(x+1)\ge\ln(2x-3)\).
Correction
Domaine : \(x+1>0\) et \(2x-3>0\), donc \(x>\dfrac32\). L'inéquation donne \(x+1\ge2x-3\), soit \(x\le4\). L'ensemble des solutions est \(\left]\dfrac32\,;4\right]\).
Exercice 4 (5 pts)
Une population augmente de \(3\,\%\) par an. Au bout de combien d'années aura-t-elle augmenté de moitié ?
Correction
On résout \((1{,}03)^n\ge1{,}5\), soit \(n\ge\dfrac{\ln1{,}5}{\ln1{,}03}\approx13{,}7\). Il faut 14 années.