L'essentiel en une page
Définition. \(\exp\) est la réciproque de \(\ln\) : \(e^x = y \iff x = \ln y\) (avec \(y > 0\)). Elle est définie et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \(]0\,;+\infty[\).
| Propriété | Formule |
|---|---|
| Produit | \(e^{a+b} = e^a e^b\) |
| Quotient | \(e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}\) |
| Puissance | \(\left(e^a\right)^n = e^{na}\) |
| Dérivée | \((e^x)' = e^x\) ; \((e^u)' = u'e^u\) |
| Primitive | \(e^u\) est une primitive de \(u'e^u\) |
Limites : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x = 0\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x = +\infty\).
| Croissances comparées | Limite |
|---|---|
| \(\dfrac{e^x}{x^n}\) en \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(x^ne^x\) en \(-\infty\) | \(0\) |
| \(\dfrac{e^x-1}{x}\) en \(0\) | \(1\) |
Inégalité utile : \(e^x \ge x + 1\) pour tout réel \(x\).
Ce que je dois savoir faire
- Résoudre équations et inéquations exponentielles.
- Poser \(X = e^x\) (avec \(X > 0\)) pour un second degré.
- Calculer des limites avec les croissances comparées.
- Dériver et étudier \(u(x)e^{v(x)}\).
- Reconnaître les primitives \(u'e^u\).
Les pièges à éviter
- \(e^x > 0\) toujours : une solution \(X \le 0\) est à rejeter.
- \(e^{a+b} \ne e^a + e^b\).
- L'exponentielle « l'emporte » toujours sur les puissances.
- Pour \(e^{ax}\), la primitive est \(\frac{e^{ax}}{a}\).
Testez-vous en 3 minutes
\(e^0\) ? Dérivée de \(e^{2x}\) ? Résoudre \(e^x = 1\) ? \(\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}\) ?
Réponses
\(1\) ; \(2e^{2x}\) ; \(x = 0\) ; \(0\).