Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
- \(e^{3x} = e^{x+4}\) (2 pts)
- \(e^{2x} - 5e^x + 4 = 0\) (3 pts)
Correction
- \(3x = x + 4\) donne \(x = 2\).
- \(X = e^x\) : \(X^2 - 5X + 4 = 0\) donne \(X = 1\) ou \(X = 4\), soit \(x = 0\) ou \(x = \ln 4\).
Exercice 2 (5 pts)
Calculer les limites suivantes.
- \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x\) (1{,}5 pt)
- \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^2}\) (2 pts)
- \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x}\) (1{,}5 pt)
Correction
- \(0\).
- \(+\infty\) (croissances comparées).
- \(2\), car \(\dfrac{e^{2x}-1}{2x}\to1\).
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(f(x) = (x-1)e^x\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe. (3 pts)
- Dresser le tableau de variations avec les limites. (3 pts)
Correction
- \(f'(x) = e^x + (x-1)e^x = xe^x\), du signe de \(x\).
- \(f\) décroît sur \(]-\infty\,;0]\) puis croît ; minimum \(f(0) = -1\) ; limites : \(0\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\).
Exercice 4 (4 pts)
Déterminer une primitive de \(f(x) = e^{3x}\) et de \(g(x) = 2xe^{x^2}\).
Correction
\(F(x) = \dfrac{e^{3x}}{3}\) ; \(G(x) = e^{x^2}\).