Série 2 — équations, limites et études.
Exercice 1
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(e^{2x} - 3e^x + 2 = 0\).
Correction
On pose \(X = e^x > 0\) : \(X^2 - 3X + 2 = 0\) donne \(X = 1\) ou \(X = 2\). Donc \(x = 0\) ou \(x = \ln 2\).
Exercice 2
Résoudre \(e^{x+1} = e^{2x-3}\), puis \(e^x > 5\).
Correction
\(x + 1 = 2x - 3\) donne \(x = 4\). \(e^x > 5\) équivaut à \(x > \ln 5\).
Exercice 3
Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}\), \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}xe^x\) et \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x - 1}{x}\).
Correction
\(+\infty\) ; \(0\) ; \(1\) (ce sont les limites de référence).
Exercice 4
Soit \(f(x) = xe^{-x}\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe.
- Déterminer le maximum de \(f\) et les limites aux bornes.
Correction
- \(f'(x) = e^{-x}(1 - x)\), du signe de \(1-x\).
- Maximum \(f(1) = e^{-1}\) ; limites : \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(0\) en \(+\infty\).
Exercice 5
Soit \(g(x) = e^x - x - 1\). Montrer que \(g(x) \ge 0\) pour tout réel \(x\).
Correction
\(g'(x) = e^x - 1\), qui s'annule en \(0\) en changeant de signe : le minimum vaut \(g(0) = 0\). Donc \(g(x) \ge 0\), c'est-à-dire \(e^x \ge x + 1\).
Exercice 6
Déterminer une primitive de \(f(x) = xe^{x^2}\) et de \(g(x) = \dfrac{e^x}{e^x + 1}\).
Correction
\(F(x) = \dfrac{e^{x^2}}{2}\) (forme \(u'e^u\)) ; \(G(x) = \ln(e^x+1)\) (forme \(\dfrac{u'}{u}\)).
Exercice 7
La température d'un corps suit \(T(t) = 20 + 60e^{-0{,}1t}\) (en °C, \(t\) en minutes).
- Calculer la température initiale.
- Déterminer la limite quand \(t\to+\infty\) et l'interpréter.
Correction
- \(T(0) = 80\) °C.
- \(e^{-0{,}1t} \to 0\), donc \(T(t) \to 20\) °C : le corps tend vers la température ambiante.