L'essentiel en une page
| Règle | Formule |
|---|---|
| Somme | \(e^{a+b} = e^ae^b\) |
| Différence | \(e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}\) |
| Opposé | \(e^{-a} = \frac{1}{e^a}\) |
| Puissance | \(\left(e^a\right)^n = e^{na}\) |
Signe : \(e^x>0\) pour tout réel \(x\) — c'est l'argument qui simplifie la plupart des équations.
| Outil | Formule |
|---|---|
| Dérivée | \(\left(e^x\right)' = e^x\) |
| Composée | \(\left(e^u\right)' = u'e^u\) |
| Limite en \(-\infty\) | \(0\) |
| Limite en \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| Croissance comparée | \(\frac{e^x}{x}\to+\infty\) |
Résoudre : \(e^a = e^b \iff a = b\) et \(e^a\le e^b \iff a\le b\), sans condition de domaine.
Lien avec \(\ln\) : \(e^{\ln x} = x\) pour \(x>0\) et \(\ln\left(e^x\right) = x\) ; les deux courbes sont symétriques par rapport à \(y = x\).
Croissance continue : \(P(t) = P_0e^{rt}\), de temps de doublement \(\dfrac{\ln2}{r}\).
Ce que je dois savoir faire
- Résoudre une équation en posant \(X = e^x\).
- Dériver un produit contenant \(e^x\).
- Étudier une fonction du type \(xe^{-x}\).
- Utiliser les croissances comparées.
- Modéliser une croissance continue et son doublement.
Les pièges à éviter
- Ne jamais écrire \(e^x = 0\) : c'est impossible.
- Après le changement de variable, ne garder que les \(X>0\).
- \(e^{-2x}\) se dérive en \(-2e^{-2x}\) : le signe compte.
- Distinguer taux annuel \((1+t)^n\) et taux continu \(e^{rt}\).
Testez-vous en 3 minutes
\(e^0\) ? Dérivée de \(e^{5x}\) ? Solution de \(e^x = 3\) ? \(\lim\limits_{x\to-\infty}e^x\) ?
Réponses
\(1\) ; \(5e^{5x}\) ; \(x = \ln3\) ; \(0\).