Série 2 — équations, dérivées, étude et croissance continue.
Exercice 1
Résoudre \(e^{2x}-3e^x+2 = 0\).
Correction
On pose \(X = e^x>0\) : \(X^2-3X+2 = 0\) donne \(X = 1\) ou \(X = 2\). Donc \(x = 0\) ou \(x = \ln2\).
Exercice 2
Calculer la dérivée de \(f(x) = e^{-2x}\) puis de \(g(x) = xe^x\).
Correction
\(f'(x) = -2e^{-2x}\). \(g'(x) = e^x+xe^x = (1+x)e^x\).
Exercice 3
Résoudre l'inéquation \(e^{x}\ge2\).
Correction
La fonction \(\exp\) est croissante : \(e^x\ge2 \iff x\ge\ln2\). L'ensemble des solutions est \(\left[\ln2\,;+\infty\right[\).
Exercice 4
Étudier les variations de \(f(x) = xe^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\) et donner son maximum.
Correction
\(f'(x) = e^{-x}-xe^{-x} = (1-x)e^{-x}\), du signe de \(1-x\). \(f\) croît sur \(]-\infty;1]\) et décroît sur \([1;+\infty[\) : maximum \(f(1) = \dfrac1e\approx0{,}37\).
Exercice 5
Montrer que \(e^x\ge x+1\) pour tout réel \(x\).
Correction
Soit \(g(x) = e^x-x-1\) : \(g'(x) = e^x-1\), négative pour \(x<0\) et positive pour \(x>0\). Le minimum est \(g(0) = 0\), donc \(g\ge0\) et \(e^x\ge x+1\).
Exercice 6
Une population suit \(P(t) = 5\,000\,e^{0{,}03t}\) (\(t\) en années). Calculer \(P(10)\) et le temps de doublement.
Correction
\(P(10) = 5\,000\,e^{0{,}3}\approx5\,000\times1{,}3499 \approx 6\,749\). Doublement : \(e^{0{,}03t} = 2\) donne \(t = \dfrac{\ln2}{0{,}03}\approx23{,}1\) années.
Exercice 7
Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x\).
Correction
\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x} = +\infty\) : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de \(x\). \(\lim\limits_{x\to-\infty}xe^x = 0\) : c'est une croissance comparée de référence.