Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Résoudre les équations suivantes.
- \(e^{3x} = e^{x+4}\) (2 pts)
- \(e^{2x}-e^x = 0\) (3 pts)
Correction
- \(3x = x+4\) donne \(x = 2\).
- \(e^x\left(e^x-1\right) = 0\) ; comme \(e^x>0\), il reste \(e^x = 1\), donc \(x = 0\).
Exercice 2 (5 pts)
Calculer la dérivée de \(f(x) = (2x+1)e^x\) et de \(g(x) = e^{x^2}\).
Correction
\(f'(x) = 2e^x+(2x+1)e^x = (2x+3)e^x\). \(g'(x) = 2xe^{x^2}\).
Exercice 3 (5 pts)
Étudier les variations de \(f(x) = e^x-x\) sur \(\mathbb{R}\) et donner son minimum.
Correction
\(f'(x) = e^x-1\), négative pour \(x<0\) et positive pour \(x>0\). Minimum \(f(0) = 1\) : la fonction est toujours strictement positive.
Exercice 4 (5 pts)
Un capital suit \(C(t) = 10\,000\,e^{0{,}05t}\) (capitalisation continue).
- Calculer \(C(5)\). (3 pts)
- Déterminer le temps de doublement. (2 pts)
Correction
- \(C(5) = 10\,000\,e^{0{,}25}\approx10\,000\times1{,}2840 \approx 12\,840\) dirhams.
- \(e^{0{,}05t} = 2\) donne \(t = \dfrac{\ln2}{0{,}05}\approx13{,}9\) années.