L'essentiel en une page
| Équation | Solutions |
|---|---|
| \(y' = ay\) | \(Ce^{ax}\) |
| \(y' + ay = 0\) | \(Ce^{-ax}\) |
| \(ay'' + by' + cy = 0\) | voir l'équation caractéristique |
Équation caractéristique : \(ar^2 + br + c = 0\).
| Discriminant | Solution générale |
|---|---|
| \(\Delta>0\) | \(Ae^{r_1x} + Be^{r_2x}\) |
| \(\Delta=0\) | \((Ax+B)e^{rx}\) |
| \(\Delta<0\), \(r = \alpha\pm i\beta\) | \(e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x + B\sin\beta x\right)\) |
Équation avec second membre : la solution générale est la somme de la solution générale de l'équation homogène et d'une solution particulière.
Conditions initiales : deux données (\(y(x_0)\) et \(y'(x_0)\)) déterminent \(A\) et \(B\).
Oscillateur : \(y'' + \omega^2y = 0\) donne \(y = A\cos\omega t + B\sin\omega t\), de période \(\dfrac{2\pi}{\omega}\).
Ce que je dois savoir faire
- Résoudre une équation du premier ordre avec condition initiale.
- Écrire et résoudre l'équation caractéristique dans les trois cas.
- Dériver la solution générale pour imposer \(y'(x_0)\).
- Ajouter une solution particulière à la solution homogène.
- Interpréter un modèle (oscillation, décroissance).
Les pièges à éviter
- Signe de l'exposant : \(y' + ay = 0\) donne \(e^{-ax}\).
- Au second ordre, il faut deux conditions.
- Dans le cas \(\Delta = 0\), ne pas oublier le facteur \(x\).
- Pour un second membre, vérifier que la solution particulière convient.
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Solutions de \(y' = -y\) ? De \(y'' - 9y = 0\) ? De \(y'' + y = 0\) ? Période de \(y'' + 4y = 0\) ?
Réponses
\(Ce^{-x}\) ; \(Ae^{3x}+Be^{-3x}\) ; \(A\cos x + B\sin x\) ; \(\pi\).