Série 2 — premier et second ordre, solutions particulières.
Exercice 1
Résoudre \(y' - 3y = 0\) avec \(y(0) = 4\).
Correction
\(y(x) = Ce^{3x}\) ; la condition donne \(C = 4\), donc \(y(x) = 4e^{3x}\).
Exercice 2
Résoudre \(y'' + 4y' + 4y = 0\).
Correction
\(r^2 + 4r + 4 = (r+2)^2\) : racine double \(r = -2\). Les solutions sont \(y(x) = (Ax+B)e^{-2x}\).
Exercice 3
Résoudre \(y'' + 2y' + 5y = 0\).
Correction
\(\Delta = 4 - 20 = -16\) : \(r = -1 \pm 2i\). Les solutions sont \(y(x) = e^{-x}\left(A\cos 2x + B\sin 2x\right)\).
Exercice 4
Résoudre \(y'' - y = 0\) avec \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 2\).
Correction
\(r = \pm1\) : \(y(x) = Ae^{x} + Be^{-x}\). \(A + B = 0\) et \(A - B = 2\) donnent \(A = 1\) et \(B = -1\) : \(y(x) = e^x - e^{-x}\).
Exercice 5
Vérifier que \(y_p(x) = x\) est solution de \(y'' + y = x\), puis donner la solution générale.
Correction
\(y_p'' = 0\) et \(y_p'' + y_p = x\) ✓. L'équation homogène \(y'' + y = 0\) a pour solutions \(A\cos x + B\sin x\) : la solution générale est \(y(x) = A\cos x + B\sin x + x\).
Exercice 6
Résoudre \(y'' - 3y' + 2y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 0\).
Correction
\(r^2 - 3r + 2 = 0\) donne \(r = 1\) ou \(r = 2\) : \(y = Ae^x + Be^{2x}\). \(A + B = 1\) et \(A + 2B = 0\) donnent \(B = -1\) et \(A = 2\) : \(y(x) = 2e^x - e^{2x}\).
Exercice 7
Un ressort vérifie \(y'' + \omega^2 y = 0\) avec \(y(0) = y_0\) et \(y'(0) = 0\). Déterminer \(y(t)\) et la période des oscillations.
Correction
\(y(t) = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)\) ; \(y(0) = A = y_0\) et \(y'(0) = \omega B = 0\) donne \(B = 0\). Donc \(y(t) = y_0\cos(\omega t)\), de période \(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\).