Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Résoudre \(y' + 5y = 0\) avec \(y(0) = 2\).
Correction
\(y(x) = Ce^{-5x}\) et \(C = 2\) : \(y(x) = 2e^{-5x}\).
Exercice 2 (5 pts)
Résoudre \(y'' - 7y' + 12y = 0\).
Correction
\(r^2 - 7r + 12 = 0\) donne \(r = 3\) ou \(r = 4\) : \(y(x) = Ae^{3x} + Be^{4x}\).
Exercice 3 (5 pts)
Résoudre \(y'' + 6y' + 9y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 0\).
Correction
\((r+3)^2 = 0\) : \(y(x) = (Ax+B)e^{-3x}\). \(y(0) = B = 1\) ; \(y'(x) = Ae^{-3x} - 3(Ax+B)e^{-3x}\), donc \(y'(0) = A - 3 = 0\) et \(A = 3\). Ainsi \(y(x) = (3x+1)e^{-3x}\).
Exercice 4 (5 pts)
Résoudre \(y'' + 25y = 0\) avec \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 5\).
Correction
\(r = \pm5i\) : \(y(x) = A\cos 5x + B\sin 5x\). \(A = 0\) et \(5B = 5\) donnent \(B = 1\) : \(y(x) = \sin 5x\).