L'essentiel en une page
| Équation | Solutions |
|---|---|
| \(y' = ay\) | \(y = Ce^{ax}\) |
| \(y' + ay = 0\) | \(y = Ce^{-ax}\) |
| \(y'' = \omega^2 y\) (\(\omega>0\)) | \(y = Ae^{\omega x} + Be^{-\omega x}\) |
| \(y'' + \omega^2 y = 0\) | \(y = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)\) |
Second ordre \(ay'' + by' + cy = 0\) : on résout l'équation caractéristique \(ar^2 + br + c = 0\).
| Discriminant | Solutions générales |
|---|---|
| \(\Delta > 0\), racines \(r_1\), \(r_2\) | \(Ae^{r_1x} + Be^{r_2x}\) |
| \(\Delta = 0\), racine double \(r\) | \((Ax + B)e^{rx}\) |
| \(\Delta < 0\), \(r = \alpha \pm i\beta\) | \(e^{\alpha x}\left(A\cos\beta x + B\sin\beta x\right)\) |
Conditions initiales : deux données (\(y(x_0)\) et \(y'(x_0)\)) déterminent \(A\) et \(B\) de façon unique.
Applications : désintégration \(N(t) = N_0e^{-\lambda t}\) avec demi-vie \(T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\) ; décharge d'un condensateur \(u(t) = U_0e^{-t/RC}\).
Ce que je dois savoir faire
- Résoudre une équation du premier ordre et appliquer la condition initiale.
- Écrire et résoudre l'équation caractéristique.
- Traiter les trois cas selon le discriminant.
- Déterminer \(A\) et \(B\) à partir de \(y(0)\) et \(y'(0)\).
- Modéliser un phénomène physique.
Les pièges à éviter
- \(y' = ay\) donne \(e^{ax}\), pas \(e^{-ax}\) : attention au signe.
- Pour le second ordre, il faut deux conditions.
- \(\Delta < 0\) donne des solutions oscillantes.
- Dériver la solution avant d'imposer la condition sur \(y'\).
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Solutions de \(y' = 2y\) ? De \(y'' + 4y = 0\) ? Racine de \(r^2 - 2r + 1\) ? Demi-vie si \(\lambda = 0{,}1\) ?
Réponses
\(Ce^{2x}\) ; \(A\cos 2x + B\sin 2x\) ; \(r = 1\) double ; \(T = \frac{\ln 2}{0{,}1} \approx 6{,}93\).