Série 2 — premier ordre, second ordre et conditions initiales.
Exercice 1
Résoudre \(y' = 3y\), puis déterminer la solution vérifiant \(y(0) = 5\).
Correction
Les solutions sont \(y(x) = Ce^{3x}\) ; la condition donne \(C = 5\), donc \(y(x) = 5e^{3x}\).
Exercice 2
Résoudre \(y' + 2y = 0\) avec \(y(1) = e^{-2}\).
Correction
\(y' = -2y\) donne \(y(x) = Ce^{-2x}\) ; \(y(1) = Ce^{-2} = e^{-2}\) donne \(C = 1\), donc \(y(x) = e^{-2x}\).
Exercice 3
Résoudre \(y'' + 9y = 0\).
Correction
L'équation caractéristique \(r^2 + 9 = 0\) a pour racines \(\pm3i\). Les solutions sont \(y(x) = A\cos(3x) + B\sin(3x)\).
Exercice 4
Résoudre \(y'' - 4y = 0\) avec \(y(0) = 2\) et \(y'(0) = 0\).
Correction
\(r^2 - 4 = 0\) donne \(r = \pm2\) : \(y(x) = Ae^{2x} + Be^{-2x}\). \(y(0) = A + B = 2\) et \(y'(0) = 2A - 2B = 0\) donnent \(A = B = 1\) : \(y(x) = e^{2x} + e^{-2x}\).
Exercice 5
Résoudre \(y'' - 6y' + 9y = 0\).
Correction
\(r^2 - 6r + 9 = (r-3)^2\) : racine double \(r = 3\). Les solutions sont \(y(x) = (Ax + B)e^{3x}\).
Exercice 6
La désintégration d'un noyau suit \(N'(t) = -\lambda N(t)\) avec \(N(0) = N_0\).
- Résoudre l'équation.
- Exprimer la demi-vie \(T\) en fonction de \(\lambda\).
Correction
- \(N(t) = N_0e^{-\lambda t}\).
- \(N(T) = \dfrac{N_0}{2}\) donne \(e^{-\lambda T} = \dfrac12\), soit \(T = \dfrac{\ln 2}{\lambda}\).
Exercice 7
Un circuit vérifie \(u' + \dfrac{u}{RC} = 0\) avec \(u(0) = U_0\). Déterminer \(u(t)\) et sa limite.
Correction
\(u(t) = U_0e^{-\frac{t}{RC}}\) ; la limite en \(+\infty\) vaut \(0\) : le condensateur se décharge.