Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Résoudre \(y' = -4y\), puis déterminer la solution telle que \(y(0) = 3\).
Correction
\(y(x) = Ce^{-4x}\) ; \(C = 3\), donc \(y(x) = 3e^{-4x}\).
Exercice 2 (5 pts)
Résoudre \(y'' + 16y = 0\), puis déterminer la solution vérifiant \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 4\).
Correction
\(r^2 + 16 = 0\) donne \(r = \pm4i\) : \(y(x) = A\cos(4x) + B\sin(4x)\). \(y(0) = A = 1\) et \(y'(0) = 4B = 4\) donnent \(B = 1\) : \(y(x) = \cos(4x) + \sin(4x)\).
Exercice 3 (5 pts)
Résoudre \(y'' - 5y' + 6y = 0\).
Correction
\(r^2 - 5r + 6 = 0\) donne \(r = 2\) ou \(r = 3\). Les solutions sont \(y(x) = Ae^{2x} + Be^{3x}\).
Exercice 4 (5 pts)
Une substance radioactive vérifie \(N'(t) = -0{,}02\,N(t)\) avec \(N(0) = 500\).
- Déterminer \(N(t)\). (2 pts)
- Calculer la demi-vie, à \(0{,}1\) près. (3 pts)
Correction
- \(N(t) = 500e^{-0{,}02t}\).
- \(e^{-0{,}02T} = 0{,}5\) donne \(T = \dfrac{\ln 2}{0{,}02} \approx 34{,}7\) unités de temps.