Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
On considère \((E) : y'' - 2y' + 5y = 0\).
- Résoudre l'équation caractéristique. (3 pts)
- Donner la solution générale de \((E)\). (3 pts)
- Déterminer la solution \(g\) telle que \(g(0) = 1\) et \(g'(0) = 3\). (4 pts)
Correction
- \(\Delta = 4 - 20 = -16\) : \(r = 1\pm2i\).
- \(y = e^x(\alpha\cos2x + \beta\sin2x)\).
- \(\alpha = 1\) ; \(y'(0) = \alpha + 2\beta = 3\) donc \(\beta = 1\). \(g(x) = e^x(\cos2x + \sin2x)\).
Exercice 2 (10 pts)
Un condensateur se charge selon \((F) : 0{,}5u' + u = 10\), avec \(u(0) = 0\) (\(t\) en secondes, \(u\) en volts).
- Résoudre \((F)\). (5 pts)
- Calculer \(\lim_{t\to+\infty}u(t)\) et interpréter. (2 pts)
- Au bout de combien de temps \(u(t)\) atteint-elle \(9\) V ? (3 pts)
Correction
- \(u' = -2u + 20\) : \(u = Ce^{-2t} + 10\), \(C = -10\), donc \(u(t) = 10(1 - e^{-2t})\).
- \(10\) V : la tension tend vers la tension du générateur.
- \(e^{-2t} = 0{,}1\Leftrightarrow t = \frac{\ln10}{2}\approx1{,}15\) s.