Exercice 1
Résoudre \(y' + 3y = 0\) avec \(y(0) = 2\).
Correction
\(y = 2e^{-3x}\).
Exercice 2
Résoudre \(y' = 2y - 4\) et trouver la solution telle que \(y(0) = 5\).
Correction
\(y = Ce^{2x} + 2\) ; \(C + 2 = 5\), donc \(y = 3e^{2x} + 2\).
Exercice 3
Résoudre \(y'' - 5y' + 6y = 0\).
Correction
\(r = 2\) ou \(3\) : \(y = \alpha e^{2x} + \beta e^{3x}\).
Exercice 4
Résoudre \(y'' + 2y' + y = 0\) avec \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 1\).
Correction
\(r = -1\) double : \(y = (\alpha x + \beta)e^{-x}\). \(\beta = 0\), \(\alpha = 1\) : \(y = xe^{-x}\).
Exercice 5
Résoudre \(y'' + 4y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 2\).
Correction
\(y = \alpha\cos2x + \beta\sin2x\) ; \(\alpha = 1\), \(2\beta = 2\) : \(y = \cos2x + \sin2x\).