L'essentiel en une page
| \(f(x)\) | \(f'(x)\) |
|---|---|
| \(x^n\) | \(nx^{n-1}\) |
| \(\sqrt x\) | \(\frac{1}{2\sqrt x}\) |
| \(\frac1x\) | \(-\frac{1}{x^2}\) |
| \(uv\) | \(u'v+uv'\) |
| \(\frac uv\) | \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\) |
Tangente en \(a\) : \(y = f'(a)(x-a)+f(a)\).
| Signe de \(f'\) | Variation |
|---|---|
| \(f'>0\) | croissante |
| \(f'<0\) | décroissante |
| \(f'\) change de signe | extremum |
Optimisation : on dérive, on cherche où la dérivée s'annule, on étudie son signe pour conclure (maximum ou minimum).
| Grandeur économique | Expression |
|---|---|
| Coût marginal | \(Cm(q) = C'(q)\) |
| Coût moyen | \(CM(q) = \frac{C(q)}{q}\) |
| Bénéfice | \(B(q) = R(q)-C(q)\) |
| Recette marginale | \(Rm(q) = R'(q)\) |
Règle utile : le coût moyen est minimal lorsque \(CM(q) = Cm(q)\) ; le bénéfice est maximal lorsque \(Rm(q) = Cm(q)\).
Ce que je dois savoir faire
- Dériver un produit, un quotient, un polynôme.
- Dresser un tableau de variations complet.
- Écrire l'équation d'une tangente.
- Maximiser un bénéfice, minimiser un coût.
- Interpréter une dérivée comme une grandeur marginale.
Les pièges à éviter
- Ne pas oublier le domaine de définition.
- Une dérivée nulle ne donne un extremum que si elle change de signe.
- Le signe du dénominateur d'une dérivée est souvent un carré, donc positif.
- Vérifier que la quantité trouvée est économiquement admissible (\(q>0\)).
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Dérivée de \(x^3-2x\) ? De \(\frac1{x+1}\) ? Tangente à \(y = x^2\) en \(1\) ? Maximum de \(-q^2+10q\) ?
Réponses
\(3x^2-2\) ; \(-\frac{1}{(x+1)^2}\) ; \(y = 2x-1\) ; en \(q = 5\), valeur \(25\).