1. Rappels sur les limites
- Polynôme en \(\pm\infty\) : limite du terme de plus haut degré.
- Fraction rationnelle en \(\pm\infty\) : limite du quotient des termes de plus haut degré.
- Formes indéterminées : \(\infty - \infty\), \(0\times\infty\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(\frac00\).
2. Continuité
\(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x\to a}f(x) = f(a)\).
Les fonctions polynômes, rationnelles et racine carrée sont continues sur leur domaine.
3. Théorème des valeurs intermédiaires
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a ; b]\) et si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution dans \(]a ; b[\).
4. Application économique
Le seuil de rentabilité est la quantité \(q_0\) pour laquelle le bénéfice s'annule. Le TVI garantit son existence quand le bénéfice est continu, strictement croissant et change de signe.
Exemple
\(B(q) = q^3 - 100\) sur \([0 ; 10]\) : \(B(4) = -36 < 0\) et \(B(5) = 25 > 0\), donc le seuil de rentabilité est entre \(4\) et \(5\).