Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (10 pts)
Calculer :
- \(\lim_{x\to+\infty}(x^2 - 3x + 1)\) (2 pts)
- \(\lim_{x\to-\infty}\frac{2x + 1}{x - 3}\) (2 pts)
- \(\lim_{x\to1}\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1}\) (3 pts)
- \(\lim_{x\to3^+}\frac{x}{x - 3}\) (3 pts)
Correction
- \(+\infty\). 2. \(2\). 3. \(\frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x + 1)}\to-\frac12\). 4. \(+\infty\).
Exercice 2 (10 pts)
Le bénéfice d'une entreprise est \(B(q) = -q^2 + 12q - 20\) (en milliers de DH) pour \(q\in[0 ; 12]\) (en centaines d'unités).
- Montrer que \(B\) est continue et étudier ses variations. (3 pts)
- Déterminer les seuils de rentabilité (valeurs de \(q\) où \(B(q) = 0\)). (4 pts)
- Pour quelles quantités l'entreprise est-elle rentable ? (3 pts)
Correction
- Polynôme donc continu. \(B'(q) = -2q + 12\) : croissante sur \([0 ; 6]\), décroissante sur \([6 ; 12]\), maximum \(B(6) = 16\).
- \(q^2 - 12q + 20 = 0\) : \(q = 2\) ou \(q = 10\).
- \(B(q) > 0\) pour \(q\in]2 ; 10[\), soit entre \(200\) et \(1000\) unités.