Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Calculer la dérivée de chaque fonction.
- \(f(x) = 3x^2-5x+1\) (2 pts)
- \(g(x) = \dfrac{x}{x+2}\) (3 pts)
Correction
- \(f'(x) = 6x-5\).
- \(g'(x) = \dfrac{(x+2)-x}{(x+2)^2} = \dfrac{2}{(x+2)^2}\).
Exercice 2 (5 pts)
Étudier les variations de \(f(x) = -x^2+6x-5\) et donner son maximum.
Correction
\(f'(x) = -2x+6\), positive pour \(x<3\) et négative pour \(x>3\). Maximum \(f(3) = -9+18-5 = 4\).
Exercice 3 (5 pts)
La recette est \(R(q) = 60q-q^2\) pour \(0\le q\le60\). Déterminer la quantité qui maximise la recette.
Correction
\(R'(q) = 60-2q\), nulle en \(q = 30\), positive avant et négative après. La recette est maximale pour \(q = 30\), avec \(R(30) = 1\,800-900 = 900\).
Exercice 4 (5 pts)
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}\) sur \(]1;+\infty[\).
- Calculer \(f'(x)\). (3 pts)
- En déduire le minimum de \(f\) sur \(]1;+\infty[\). (2 pts)
Correction
- \(f'(x) = \dfrac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\).
- Sur \(]1;+\infty[\), \(f'\) est négative sur \(]1;2[\) et positive sur \(]2;+\infty[\) : minimum \(f(2) = \dfrac41 = 4\).