Durée : 2 heures. Barème sur 20.
Problème (20 pts)
Soit \(f(x) = \frac{x^2 + 9}{x}\) sur \(]0 ; +\infty[\).
- Calculer \(\lim_{x\to0^+}f(x)\) et \(\lim_{x\to+\infty}f(x)\). (3 pts)
- Montrer que la droite \(y = x\) est asymptote à la courbe en \(+\infty\) et étudier leur position. (4 pts)
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variation. (5 pts)
- Une entreprise a un coût moyen \(C_M(q) = f(q)\) (en DH, \(q\) en milliers d'unités). Quelle production minimise le coût moyen ? (4 pts)
- En déduire le coût total \(C(q)\) et le coût marginal en ce point. (4 pts)
Correction
- \(+\infty\) et \(+\infty\).
- \(f(x) - x = \frac9x\to0\) ; courbe au-dessus de la droite.
- \(f'(x) = 1 - \frac{9}{x^2} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^2}\) : décroissante sur \(]0 ; 3]\), croissante sur \([3 ; +\infty[\), minimum \(f(3) = 6\).
- \(q = 3\), soit \(3000\) unités, coût moyen minimal \(6\) DH.
- \(C(q) = qC_M(q) = q^2 + 9\), \(C'(q) = 2q\), \(C'(3) = 6\) : égal au coût moyen minimal.