Exercice 1
Calculer la dérivée de \(f(x) = \frac{x^2}{x + 2}\) et étudier ses variations sur \(]-2 ; +\infty[\).
Correction
\(f'(x) = \frac{x^2 + 4x}{(x + 2)^2} = \frac{x(x + 4)}{(x + 2)^2}\) : décroissante sur \(]-2 ; 0]\), croissante sur \([0 ; +\infty[\).
Exercice 2
Soit \(C(q) = q^2 + 4q + 64\) (\(q > 0\)). Déterminer la quantité qui minimise le coût moyen et vérifier que coût moyen et coût marginal y sont égaux.
Correction
\(C_M(q) = q + 4 + \frac{64}{q}\), \(C_M'(q) = 1 - \frac{64}{q^2} = 0\) pour \(q = 8\). \(C_M(8) = 20\) et \(C'(8) = 2\times8 + 4 = 20\).
Exercice 3
La demande est \(D(p) = 100 - 2p\) (\(0 < p < 50\)). Calculer l'élasticité \(e(p)\) et sa valeur pour \(p = 20\).
Correction
\(e(p) = \frac{p\times(-2)}{100 - 2p}\). \(e(20) = \frac{-40}{60} = -\frac23\) : une hausse de \(1\) % du prix fait baisser la demande d'environ \(0{,}67\) %.
Exercice 4
Étudier la concavité de \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 1\).
Correction
\(f''(x) = 6x - 12\) : concave sur \(]-\infty ; 2]\), convexe sur \([2 ; +\infty[\), point d'inflexion \((2 ; -15)\).