Série 2 — dérivées, variations, optimisation économique.
Exercice 1
Étudier les variations de \(f(x) = x^3-3x^2+2\) sur \(\mathbb{R}\).
Correction
\(f'(x) = 3x^2-6x = 3x(x-2)\). \(f'>0\) sur \(]-\infty;0[\) et sur \(]2;+\infty[\), \(f'<0\) sur \(]0;2[\). Maximum local \(f(0) = 2\), minimum local \(f(2) = -2\).
Exercice 2
Étudier \(f(x) = \dfrac{2x+1}{x-1}\) sur son domaine et déterminer ses asymptotes.
Correction
Domaine : \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). \(f'(x) = \dfrac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1)^2} = \dfrac{-3}{(x-1)^2}<0\) : \(f\) est décroissante sur chaque intervalle. \(\lim\limits_{x\to1}\lvert f\rvert = +\infty\) : asymptote verticale \(x = 1\) ; \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f = 2\) : asymptote horizontale \(y = 2\).
Exercice 3
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de \(f(x) = x^2\) au point d'abscisse \(2\).
Correction
\(f(2) = 4\) et \(f'(x) = 2x\) donc \(f'(2) = 4\). Tangente : \(y = 4(x-2)+4 = 4x-4\).
Exercice 4
Le coût total est \(C(q) = \dfrac{q^3}{3}-4q^2+20q\) pour \(q>0\). Déterminer la quantité qui minimise le coût marginal \(Cm(q) = C'(q)\).
Correction
\(Cm(q) = q^2-8q+20\), qui est une parabole de sommet \(q = 4\). \(Cm'(q) = 2q-8\), négative avant \(4\) et positive après : le coût marginal est minimal en \(q = 4\), avec \(Cm(4) = 16-32+20 = 4\).
Exercice 5
La recette est \(R(q) = 50q\) et le coût \(C(q) = q^2+10q+100\). Déterminer la production qui maximise le bénéfice.
Correction
\(B(q) = R(q)-C(q) = -q^2+40q-100\). \(B'(q) = -2q+40\), nulle en \(q = 20\), positive avant et négative après : le bénéfice est maximal pour \(q = 20\). \(B(20) = -400+800-100 = 300\).
Exercice 6
Étudier \(f(x) = x+\dfrac1x\) sur \(]0;+\infty[\) et en déduire le minimum du coût moyen correspondant.
Correction
\(f'(x) = 1-\dfrac1{x^2} = \dfrac{x^2-1}{x^2}\), nulle en \(x = 1\). \(f\) décroît sur \(]0;1]\) et croît sur \([1;+\infty[\) : minimum \(f(1) = 2\). Un coût moyen de cette forme est donc minimal pour une production de \(1\) unité, avec un coût unitaire de \(2\).
Exercice 7
Soit \(C(q) = q^2+10q+100\). Montrer que le coût moyen est minimal lorsqu'il est égal au coût marginal.
Correction
\(CM(q) = q+10+\dfrac{100}{q}\) et \(CM'(q) = 1-\dfrac{100}{q^2}\), nulle en \(q = 10\). \(CM(10) = 10+10+10 = 30\) et \(Cm(10) = C'(10) = 2\times10+10 = 30\) : les deux coïncident. C'est une règle générale en économie : le coût moyen est minimal au point où il croise le coût marginal.