L'essentiel en une page
| Opération | Dérivée |
|---|---|
| \(uv\) | \(u'v + uv'\) |
| \(\frac uv\) | \(\frac{u'v-uv'}{v^2}\) |
| \(u^n\) | \(nu'u^{n-1}\) |
| \(\sqrt u\) | \(\frac{u'}{2\sqrt u}\) |
| \(\sin u\) / \(\cos u\) | \(u'\cos u\) / \(-u'\sin u\) |
Dérivabilité en \(a\) : la limite du taux doit être finie ; sinon, point anguleux ou tangente verticale.
| Étude | Outil |
|---|---|
| Variations | signe de \(f'\) |
| Concavité | signe de \(f''\) |
| Point d'inflexion | \(f''\) change de signe |
| Asymptote oblique | division : \(f(x) = ax+b+\varepsilon(x)\) |
| Position relative | signe de \(\varepsilon(x)\) |
Bijection : \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\) réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) ; la courbe de \(f^{-1}\) est la symétrique de celle de \(f\) par rapport à la droite \(y = x\).
Ce que je dois savoir faire
- Dériver toute composée, y compris des racines de quotients.
- Mener une étude complète avec branches infinies.
- Étudier concavité et points d'inflexion.
- Montrer une bijection et préciser l'intervalle image.
- Étudier la dérivabilité en un point délicat.
Les pièges à éviter
- Ne pas oublier \(u'\) dans les composées.
- \(f'\) nulle sans changement de signe : pas d'extremum.
- \(f''\) nulle sans changement de signe : pas d'inflexion.
- Préciser l'intervalle sur lequel la bijection est établie.
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Dérivée de \(\sqrt{x^2+1}\) ? De \(\sin^2 x\) ? Asymptote oblique de \(\frac{x^2+1}{x-1}\) ? Point d'inflexion de \(x^3-3x^2\) ?
Réponses
\(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) ; \(\sin 2x\) ; \(y = x+1\) ; d'abscisse \(1\).