Série 2 — dérivées, concavité, bijections et branches infinies.
Exercice 1
Calculer la dérivée de :
- \(f(x) = \sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}\) sur \(]1\,;+\infty[\)
- \(g(x) = \cos^3(2x)\)
Correction
- Avec \(u = \dfrac{x-1}{x+1}\), \(u' = \dfrac{2}{(x+1)^2}\) : \(f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2\sqrt{u}}\), soit \(f'(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}\sqrt{\dfrac{x+1}{x-1}}\).
- \(g'(x) = 3\cos^2(2x)\times\left(-2\sin(2x)\right) = -6\sin(2x)\cos^2(2x)\).
Exercice 2
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2+1}{x-1}\).
- Déterminer les asymptotes.
- Étudier les variations.
Correction
- \(f(x) = x + 1 + \dfrac{2}{x-1}\) : asymptote oblique \(y = x+1\) et verticale \(x = 1\).
- \(f'(x) = 1 - \dfrac{2}{(x-1)^2} = \dfrac{(x-1)^2 - 2}{(x-1)^2}\), qui s'annule en \(1\pm\sqrt2\) : maximum local en \(1-\sqrt2\), minimum local en \(1+\sqrt2\).
Exercice 3
Soit \(f(x) = x^3 - 3x\). Montrer que \(f\) réalise une bijection de \([1\,;+\infty[\) sur \([-2\,;+\infty[\).
Correction
\(f'(x) = 3(x^2-1) \ge 0\) sur \([1\,;+\infty[\), nulle seulement en \(1\) : \(f\) est strictement croissante. \(f(1) = -2\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x) = +\infty\) : c'est une bijection sur \([-2\,;+\infty[\).
Exercice 4
Étudier la concavité de \(f(x) = \dfrac{1}{x^2+1}\) et déterminer les points d'inflexion.
Correction
\(f'(x) = \dfrac{-2x}{(x^2+1)^2}\) ; \(f''(x) = \dfrac{6x^2-2}{(x^2+1)^3}\), qui s'annule en \(x = \pm\dfrac{1}{\sqrt3}\) en changeant de signe. Il y a donc deux points d'inflexion, d'abscisses \(\pm\dfrac{\sqrt3}{3}\).
Exercice 5
Soit \(f(x) = x\sqrt{x}\) sur \([0\,;+\infty[\). Étudier la dérivabilité en \(0\).
Correction
\(\dfrac{f(h) - f(0)}{h} = \dfrac{h\sqrt h}{h} = \sqrt h \to 0\) : \(f\) est dérivable en \(0\) et \(f'(0) = 0\).
Exercice 6
Déterminer les branches infinies de \(f(x) = \dfrac{x^3}{x^2+1}\).
Correction
\(f(x) = x - \dfrac{x}{x^2+1}\), et \(\dfrac{x}{x^2+1} \to 0\) : la droite \(y = x\) est asymptote oblique en \(\pm\infty\).
Exercice 7
Soit \(f(x) = x + \sin x\). Montrer que \(f\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) et déterminer ses points à tangente horizontale.
Correction
\(f'(x) = 1 + \cos x \ge 0\), nulle seulement pour \(x = \pi + 2k\pi\) : \(f\) est croissante. Les tangentes horizontales sont aux points d'abscisses \(\pi + 2k\pi\).