Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer la dérivée de :
- \(f(x) = (x^2+1)^3\) (2 pts)
- \(g(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) (2 pts)
- \(h(x) = \sin^2(3x)\) (2 pts)
Correction
- \(f'(x) = 6x(x^2+1)^2\).
- \(g'(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+1} - x\times\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1} = \dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}\).
- \(h'(x) = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)\).
Exercice 2 (8 pts)
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 - 2x}{x-1}\).
- Déterminer \(D_f\) et les limites aux bornes. (3 pts)
- Montrer que la droite \(y = x - 1\) est asymptote oblique. (2 pts)
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations. (3 pts)
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}\) ; \(\pm\infty\) en \(\pm\infty\) ; en \(1^-\) : \(+\infty\) ; en \(1^+\) : \(-\infty\).
- \(f(x) = x - 1 - \dfrac{1}{x-1}\) et \(\dfrac{1}{x-1}\to0\).
- \(f'(x) = 1 + \dfrac{1}{(x-1)^2} > 0\) : \(f\) est croissante sur chaque intervalle.
Exercice 3 (6 pts)
Soit \(g(x) = x^3 - 3x^2 + 1\).
- Dresser le tableau de variations. (3 pts)
- Étudier la concavité et donner le point d'inflexion. (3 pts)
Correction
- \(g'(x) = 3x(x-2)\) : maximum local \(g(0) = 1\), minimum local \(g(2) = -3\).
- \(g''(x) = 6x - 6\) s'annule en \(1\) en changeant de signe : point d'inflexion \((1\,;-1)\).