L'essentiel en une page
| Opération | Dérivée |
|---|---|
| \(uv\) | \(u'v + uv'\) |
| \(\dfrac uv\) | \(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\) |
| \(u^n\) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) |
| \(\sqrt u\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt u}\) |
| \(\sin u\) / \(\cos u\) | \(u'\cos u\) / \(-u'\sin u\) |
Tangente : \(y = f'(a)(x-a) + f(a)\) ; parallèle à \(y = mx+p\) si \(f'(a) = m\).
Variations : le signe de \(f'\) donne le sens ; un extremum exige un changement de signe.
| Concavité | Condition |
|---|---|
| Convexe | \(f'' > 0\) |
| Concave | \(f'' < 0\) |
| Point d'inflexion | \(f''\) s'annule en changeant de signe |
Asymptote oblique : \(f(x) = ax + b + \varepsilon(x)\) avec \(\varepsilon(x)\to0\) ; le signe de \(\varepsilon\) donne la position de la courbe.
Ce que je dois savoir faire
- Dériver toutes les formes composées.
- Dresser un tableau de variations complet.
- Étudier la concavité et trouver les points d'inflexion.
- Déterminer asymptotes et position relative.
- Résoudre un problème d'optimisation.
Les pièges à éviter
- Ne pas oublier \(u'\) dans les composées.
- \(f'(a) = 0\) sans changement de signe ne donne pas d'extremum.
- Pour la position relative, étudier le signe du reste.
- Le domaine de dérivabilité peut être plus petit que \(D_f\).
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Dérivée de \((3x-2)^4\) ? De \(\frac{1}{x^2+1}\) ? Point d'inflexion de \(x^3\) ? Asymptote oblique de \(\frac{x^2+1}{x}\) ?
Réponses
\(12(3x-2)^3\) ; \(\frac{-2x}{(x^2+1)^2}\) ; l'origine ; \(y = x\).