Série 2 — dérivées, concavité et études complètes.
Exercice 1
Calculer la dérivée de :
- \(f(x) = (x^2 - 3x + 1)^4\)
- \(g(x) = \dfrac{2x-1}{x^2+1}\)
- \(h(x) = \sqrt{x^2 + 4x}\)
Correction
- \(f'(x) = 4(2x-3)(x^2-3x+1)^3\).
- \(g'(x) = \dfrac{2(x^2+1) - (2x-1)2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{-2x^2 + 2x + 2}{(x^2+1)^2}\).
- \(h'(x) = \dfrac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x}} = \dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+4x}}\).
Exercice 2
Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\). Étudier la concavité et déterminer le point d'inflexion.
Correction
\(f''(x) = 6x - 6\) : la courbe est concave sur \(]-\infty\,;1[\), convexe sur \(]1\,;+\infty[\). Le point d'inflexion est \((1\,;0)\).
Exercice 3
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + x - 2}{x - 1}\).
- Simplifier \(f(x)\) pour \(x \ne 1\).
- En déduire la nature de la courbe.
Correction
- \(x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)\), donc \(f(x) = x + 2\).
- La courbe est la droite \(y = x + 2\) privée du point d'abscisse \(1\).
Exercice 4
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}\).
- Déterminer \(D_f\) et les asymptotes.
- Calculer \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.
Correction
- \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}\) ; \(f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x-1}\) : asymptote oblique \(y = x+1\) et verticale \(x = 1\).
- \(f'(x) = \dfrac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}\) : maximum local \(f(0) = 0\), minimum local \(f(2) = 4\).
Exercice 5
Déterminer les tangentes à la courbe de \(f(x) = x^2 - 2x\) parallèles à la droite \(y = 4x + 1\).
Correction
\(f'(x) = 2x - 2 = 4\) donne \(x = 3\) ; \(f(3) = 3\). La tangente est \(y = 4(x-3) + 3 = 4x - 9\).
Exercice 6
Soit \(f(x) = x + \dfrac{9}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Déterminer le minimum et l'interpréter géométriquement.
Correction
\(f'(x) = 1 - \dfrac9{x^2}\) s'annule en \(x = 3\) ; le minimum vaut \(6\). Parmi les rectangles d'aire \(9\), le carré de côté \(3\) a le plus petit demi-périmètre.
Exercice 7
Étudier la position de la courbe de \(f(x) = \dfrac{x^2}{x-1}\) par rapport à son asymptote oblique.
Correction
\(f(x) - (x+1) = \dfrac{1}{x-1}\) : positif pour \(x > 1\) (courbe au-dessus), négatif pour \(x < 1\) (courbe en dessous).