Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer la dérivée de :
- \(f(x) = (2x+1)^5\) (2 pts)
- \(g(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) (2 pts)
- \(h(x) = \sqrt{3x+7}\) (2 pts)
Correction
- \(f'(x) = 10(2x+1)^4\).
- \(g'(x) = \dfrac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\).
- \(h'(x) = \dfrac{3}{2\sqrt{3x+7}}\).
Exercice 2 (7 pts)
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 2}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\).
- Calculer \(f'(x)\) et étudier son signe. (3 pts)
- Dresser le tableau de variations. (2 pts)
- Déterminer l'asymptote oblique. (2 pts)
Correction
- \(f(x) = x + \dfrac2x\), donc \(f'(x) = \dfrac{x^2-2}{x^2}\) : négative sur \(]0\,;\sqrt2[\), positive après.
- Minimum \(f(\sqrt2) = 2\sqrt2\) en \(x = \sqrt2\).
- \(f(x) - x = \dfrac2x \to 0\) : la droite \(y = x\) est asymptote oblique.
Exercice 3 (7 pts)
Soit \(g(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\).
- Calculer \(g'(x)\) et dresser le tableau de variations. (4 pts)
- Étudier la concavité et déterminer le point d'inflexion. (3 pts)
Correction
- \(g'(x) = 3(x-1)(x-3)\) : maximum local \(g(1) = 4\), minimum local \(g(3) = 0\).
- \(g''(x) = 6x - 12\) s'annule en \(2\) en changeant de signe : le point d'inflexion est \((2\,;2)\).