L'essentiel en une page
Définition. \(\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)\), pour toute primitive \(F\) de \(f\).
| Propriété | Énoncé |
|---|---|
| Linéarité | \(\int(\alpha f+\beta g) = \alpha\int f + \beta\int g\) |
| Chasles | \(\int_a^b + \int_b^c = \int_a^c\) |
| Positivité | \(f \ge 0 \Rightarrow \int_a^b f \ge 0\) |
| Croissance | \(f \le g \Rightarrow \int_a^b f \le \int_a^b g\) |
| Valeur moyenne | \(\frac{1}{b-a}\int_a^b f\) |
Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^b uv' = \left[uv\right]_a^b - \int_a^b u'v\) ; on choisit pour \(u\) ce qui se simplifie en dérivant.
Linéarisation : \(\cos^2x = \frac{1+\cos2x}{2}\) et \(\sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2}\).
Parité : si \(f\) est impaire, \(\int_{-a}^{a}f = 0\) ; si \(f\) est paire, \(\int_{-a}^{a}f = 2\int_0^a f\).
Suite d'intégrales : une IPP donne souvent une relation de récurrence entre \(I_{n+1}\) et \(I_n\).
Ce que je dois savoir faire
- Calculer une intégrale par primitive ou forme composée.
- Appliquer une ou deux intégrations par parties.
- Linéariser avant d'intégrer une puissance trigonométrique.
- Calculer une aire entre deux courbes.
- Établir une relation de récurrence sur \(I_n\).
Les pièges à éviter
- Déterminer quelle courbe est au-dessus avant de calculer une aire.
- Une intégrale peut être négative.
- Dans l'IPP, ne pas oublier le signe moins.
- Utiliser la parité pour simplifier, quand elle s'applique.
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\(\int_0^1 x^2dx\) ? \(\int_0^{\pi}\sin x\,dx\) ? \(\int_{-1}^{1}x^3dx\) ? Choix de \(u\) pour \(\int x\ln x\,dx\) ?
Réponses
\(\frac13\) ; \(2\) ; \(0\) (fonction impaire) ; \(u = \ln x\).