Série 2 — intégration par parties, changements de variable et aires.
Exercice 1
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 x^2e^x\,dx\) par deux intégrations par parties.
Correction
Première IPP : \(\left[x^2e^x\right]_0^1 - 2\displaystyle\int_0^1 xe^x\,dx = e - 2\times1 = e - 2\). (On utilise \(\displaystyle\int_0^1 xe^x dx = 1\), obtenu par une seconde IPP.)
Exercice 2
Calculer \(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx\).
Correction
\(u = \ln x\), \(v' = x\) : \(\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \displaystyle\int_1^e \dfrac x2\,dx = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2-1}{4} = \dfrac{e^2+1}{4}\).
Exercice 3
Calculer \(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x\,dx\) par linéarisation.
Correction
\(\sin^2x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}\), donc l'intégrale vaut \(\left[\dfrac x2 - \dfrac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \dfrac{\pi}{4}\).
Exercice 4
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\,dx\) et \(\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{(2x+1)^2}\).
Correction
\(\left[\dfrac12\ln(x^2+1)\right]_0^1 = \dfrac{\ln 2}{2}\) ; \(\left[-\dfrac{1}{2(2x+1)}\right]_0^1 = -\dfrac16 + \dfrac12 = \dfrac13\).
Exercice 5
Soit \(I_n = \displaystyle\int_0^1 x^ne^{-x}\,dx\). Montrer que \(I_{n+1} = (n+1)I_n - e^{-1}\).
Correction
IPP avec \(u = x^{n+1}\) et \(v' = e^{-x}\) : \(I_{n+1} = \left[-x^{n+1}e^{-x}\right]_0^1 + (n+1)\displaystyle\int_0^1 x^ne^{-x}dx = -e^{-1} + (n+1)I_n\).
Exercice 6
Calculer l'aire du domaine compris entre les courbes de \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = \sqrt x\) sur \([0\,;1]\).
Correction
Sur \([0\,;1]\), \(\sqrt x \ge x^2\) : l'aire vaut \(\displaystyle\int_0^1\left(\sqrt x - x^2\right)dx = \dfrac23 - \dfrac13 = \dfrac13\).
Exercice 7
Montrer que, pour \(f\) continue et impaire sur \([-a\,;a]\), on a \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0\).
Correction
Par Chasles, \(\displaystyle\int_{-a}^{a} = \int_{-a}^{0} + \int_0^a\). Dans la première, le changement \(x\mapsto -x\) donne \(-\displaystyle\int_0^a f\), car \(f(-x) = -f(x)\). Les deux termes s'annulent : l'intégrale est nulle.