Durée : 1 h 30. Barème sur 20.
Exercice 1 (6 pts)
Calculer :
- \(\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 2x + 1)\,dx\) (2 pts)
- \(\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2+1}\,dx\) (2 pts)
- \(\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{3}} \sin x\,dx\) (2 pts)
Correction
- \(\left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = 1\).
- \(\left[\ln(x^2+1)\right]_0^1 = \ln 2\).
- \(\left[-\cos x\right]_0^{\frac{\pi}{3}} = 1 - \dfrac12 = \dfrac12\).
Exercice 2 (6 pts)
Calculer \(\displaystyle\int_1^e x\ln x\,dx\) par intégration par parties.
Correction
\(u = \ln x\), \(v' = x\) : \(\left[\dfrac{x^2}{2}\ln x\right]_1^e - \dfrac12\displaystyle\int_1^e x\,dx = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2-1}{4} = \dfrac{e^2+1}{4}\).
Exercice 3 (4 pts)
Calculer \(\displaystyle\int_0^{\pi} \cos^2 x\,dx\) par linéarisation.
Correction
\(\cos^2x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}\) : l'intégrale vaut \(\left[\dfrac x2 + \dfrac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi} = \dfrac{\pi}{2}\).
Exercice 4 (4 pts)
Calculer l'aire du domaine compris entre les courbes de \(f(x) = x\) et \(g(x) = x^3\) sur \([0\,;1]\).
Correction
Sur \([0\,;1]\), \(x \ge x^3\) : l'aire vaut \(\displaystyle\int_0^1(x - x^3)dx = \dfrac12 - \dfrac14 = \dfrac14\).