L'essentiel en une page
| Propriété | Écriture |
|---|---|
| Fondamentale | \(\int_a^bf = F(b)-F(a)\) |
| Linéarité | \(\int(\alpha f+\beta g) = \alpha\int f+\beta\int g\) |
| Découpage | \(\int_a^c = \int_a^b+\int_b^c\) |
| Orientation | \(\int_a^b = -\int_b^a\) |
Intégration par parties : \(\displaystyle\int_a^bu'v = \left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'\) — on dérive le facteur polynomial ou le \(\ln\).
| Application | Formule |
|---|---|
| Aire sous la courbe (\(f\ge0\)) | \(\int_a^bf\) |
| Aire entre deux courbes | \(\int_a^b(f-g)\) |
| Valeur moyenne | \(\frac{1}{b-a}\int_a^bf\) |
| Variation d'un coût | \(\int_{q_1}^{q_2}Cm\) |
Surplus du consommateur : \(\displaystyle\int_0^{q^*}D(q)\,\mathrm{d}q-p^*q^*\), où \(D\) est la fonction de demande.
Surplus du producteur : \(p^*q^*-\displaystyle\int_0^{q^*}O(q)\,\mathrm{d}q\), où \(O\) est la fonction d'offre.
Ce que je dois savoir faire
- Calculer une intégrale avec une primitive.
- Appliquer une intégration par parties simple.
- Calculer une aire entre deux courbes.
- Calculer une valeur moyenne.
- Interpréter une intégrale comme une variation de coût ou un surplus.
Les pièges à éviter
- Vérifier quelle courbe est au-dessus avant de soustraire.
- Une aire est toujours positive : l'intégrale peut être négative.
- Ne pas oublier de soustraire \(p^*q^*\) dans un surplus.
- Respecter l'ordre des bornes.
Testez-vous en 3 minutes
\(\int_0^1x\,\mathrm{d}x\) ? \(\int_1^2\frac{\mathrm{d}x}{x}\) ? Valeur moyenne de \(f(x) = 2\) sur \([0;5]\) ? Aire sous \(y = 1\) sur \([0;3]\) ?
Réponses
\(\frac12\) ; \(\ln2\) ; \(2\) ; \(3\).