Durée : 1 heure. Barème sur 20.
Exercice 1 (5 pts)
Calculer \(\displaystyle\int_1^3(2x+1)\,\mathrm{d}x\).
Correction
\(\left[x^2+x\right]_1^3 = (9+3)-(1+1) = 10\).
Exercice 2 (5 pts)
Calculer \(\displaystyle\int_1^e\dfrac{\mathrm{d}x}{x}\) puis \(\displaystyle\int_0^1e^{-x}\,\mathrm{d}x\).
Correction
\(\left[\ln x\right]_1^e = 1\). \(\left[-e^{-x}\right]_0^1 = -e^{-1}+1 = 1-\dfrac1e\approx0{,}63\).
Exercice 3 (5 pts)
Calculer l'aire du domaine situé sous la courbe de \(f(x) = x^2\) entre \(x = 0\) et \(x = 2\).
Correction
\(f\ge0\) sur \([0\,;2]\) :
\[\mathcal{A} = \int_0^2x^2\,\mathrm{d}x = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac83\approx2{,}67 \text{ u.a.}\]
Exercice 4 (5 pts)
Le coût marginal est \(Cm(q) = 2q+10\). Calculer la variation du coût total lorsque la production passe de \(0\) à \(10\) unités.
Correction
\[C(10)-C(0) = \int_0^{10}(2q+10)\,\mathrm{d}q = \left[q^2+10q\right]_0^{10} = 100+100 = 200.\]
Le coût total augmente de \(200\) unités monétaires.